Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點在直線x＝1上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限內拋物線上的一個動點，過點P做PQ∥y軸交BC與點Q，當點P在何位置時，線段PQ的長度有最大值？

（3）點M在x軸上，點N在拋物線對稱軸上，是否存在點M，點N，使以點M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（，）；（3）存在，點M的坐標為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）

【解析】

（1）點A（﹣1，0），點C（0，3），頂點在直線x＝1上，則c＝3，點B（3，0），故拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）設點P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，﹣t+3）．則PQ＝﹣t2+3t，即可求解；

（3）分BC是平行四邊形的邊、BC是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B兩點，頂點在直線x＝1上，

∴點B（3，0），

∵拋物線與y軸交于點C（0，3），

∴c＝3，

設拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

∴﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，

將點B、C的坐標代入得： ，

解得，

直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設點P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3）．

∴PQ＝﹣t2+3t=，

∴當t＝時，PQ長度的最大值為，

此時﹣t2+2t+3＝，

∴點P的坐標為（，）；

（3）設點M（m，0）、點N（1，n），點C（0，3）、點B（3，0），

①當BC是平行四邊形的邊時，

點C向右平移3個單位向下平移3個單位得到B，

同理點C（B）向右平移3個單位向下平移3個單位得到B（C），

即1+3＝m或1﹣3＝m，解得：m＝4或﹣2；

②當BC是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：1+m＝3，解得：m＝2，

故點M的坐標為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．