Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為(-，0)、(0，-1)，把點A繞坐標原點O順時針旋轉135°得點C，若點C在反比例函數y=的圖象上．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）若點D在y軸上，點E在反比例函數y=的圖象上，且以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形．請畫出滿足題意的示意圖并在示意圖的下方直接寫出相應的點D、E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）示意圖見解析，E（-，-），D（0，-1-）或E（-，-），D（0，-1+）或E ， D

【解析】

（1）根據旋轉和直角三角形的邊角關系可以求出點C的坐標，進而確定反比例函數的關系式；

（2）分兩種情況進行討論解答，①點E在第三象限，由題意可得E的橫坐標與點A的相同，將A的橫坐標代入反比例函數的關系式，可求出縱坐標，得到E的坐標，進而得到AE的長，也是BD的長，因此D在B的上方和下方，即可求出點D的坐標，②點E在第一象限，由三角形全等，得到E的橫坐標，代入求出縱坐標，確定E的坐標，進而求出點D的坐標．

（1）由旋轉得：OC=OA=，∠AOC=135°，

過點C作CM⊥y軸，垂足為M，則∠COM=135°-90°=45°，

在Rt△OMC中，∠COM=45°，OC=，

∴OM=CM=1，

∴點C（1，1），代入y=得：k=1，

∴反比例函數的關系式為：y=，

答：反比例函數的關系式為：y=

（2）①當點E在第三象限反比例函數的圖象上，如圖1，圖2，

∵點D在y軸上，AEDB是平行四邊形，

∴AE∥DB，AE=BD，AE⊥OA，

當x=-時，y==-，

∴E（-，-）

∵B（0，-1），BD=AE=，

當點D在B的下方時，

∴D（0，-1-）

當點D在B的上方時，

∴D（0，-1+），

②當點E在第一象限反比例函數的圖象上時，如圖3，

過點E作EN⊥y軸，垂足為N，

∵ABED是平行四邊形，

∴AB=DE，AB=DE，

∴∠ABO=∠EDO，

∴△AOB≌△END （AAS），

∴EN=OA=，DN=OB=1，

當x=時，代入y=得：y=，

∴E（，），

∴ON=，OD=ON+DN=1+，

∴D（0，1+）