Question

（12分）如圖所示，已知正方形ABCD，直角三角形紙板的一個銳角頂點與點A重合，紙板繞點A旋轉時，直角三角形紙板的一邊與直線CD交于E，分別過B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G.

（1）當點E在DC延長線上時，如圖①，求證：BF = DG一FG；

（2）將圖①中的三角板繞點A逆時針旋轉得圖②、圖③，此時BF、FG、DG之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出結論（不必證明）.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）圖2中，BF=DG+FG，圖3中，BF=FG－DG．

【解析】

試題分析：（1）證明△ABF≌△DAG即可得出結論；

（2）類似地，可以得到圖2中，BF=DG+FG，圖3中，BF=FG－DG.

試題解析：

（1）∵ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠DAG+∠BAG=90°，∵BF⊥AE，DG⊥AF，∴∠AFB=∠AGD=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠ABF，在△ABF和△DAG中，∵∠ABF=∠DAG，∠AFB=∠DGA=90°，AB=AD，∴△ABF≌△DAG，∴AF=DG，BF=AG，∴BF=AG=AF－FG=DG－FG；

（2）圖2中，BF=DG+FG，理由如下：

由（1）可知：△ABF≌△DAG，∴BF=AG，AF=DG，∴BF=AG=AF+FG=DG+FG；

圖3中，BF=FG－DG．理由如下：

∵ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，ANB=AD，∴∠FAB+∠DAG=90°，∵BF⊥EF，DG⊥EF，∴∠BFA=∠AGD=90°，∠FBA+∠BAF=90°，∴∠FBA=∠GAD，在△FBA和△GAD中，∵∠FBA=∠GAD，∠BFA=∠AGD，AB=AD，∴△FBA≌△GAD，∴BF=AG，FA=GD，∴BF=AG=FG－FA= FG－GD．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．正方形的性質．