Question

（2003•福州）已知：如圖，二次函數y=2x²-2的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線x=m（m＞1）與x軸交于點D．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）在直線x=m（m＞1）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=2x²-2上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令二次函數解析式中x=0，可得出C點坐標，令y=0，可得出A、B的坐標．
（2）由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本題可分兩種情況進行討論：
①當△PDB∽△COB時；②當△PDB∽△BOC時；可根據不同的相似三角形得出的不同的對應線段成比例來求出DP的長，即可表示出P點的坐標．
（3）若四邊形ABPQ為平行四邊形，那么Q點的坐標可有P點坐標向左平移AB個單位來得出，然后將Q點坐標代入拋物線的解析式中即可求得m的值．
解答：解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
點A為（-1，0），點B為（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以點C為（0，-2）．

（2）當△PDB∽△COB時，有，
∵BD=m-1，OC=2，OB=1，
∴=，
∴PD=2（m-1），
∴P₁（m，2m-2）．
當△PDB∽△BOC時，，
∵OB=1，BD=m-1，OC=2，
∴=，
PD=，
∴P₂（m，-）．

（3）假設拋物線y=2x²-2上存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴PQ=AB=2，點Q的橫坐標為m-2．
當點P₁為（m，2m-2）時，
點Q₁的坐標是（m-2，2m-2）（9分）
∵點Q₁在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴2m-2=2（m-2）²-2，m-1=m²-4m+4-1，
m²-5m+4=0，m₁=1（舍去），m₂=4．
當點P₂為（m，-）時，
點Q₂的坐標是（m-2，-），
∵Q₂在拋物線y=2x²-2圖象上，
∴-=2（m-2）²-2，m-1=4（m-2）²-4m-1，
=4m²-16m+16-44m²-17m+13=0，
∴（m-1）（4m-13）=0，
∴m₃=1（舍去），m₄=，
∴m的值為4、．
點評：本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數的應用、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識．