Question

【題目】如圖，已知：拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）交x軸于A、C兩點，交y軸于B．且OB＝2CO．

（1）求點A、B、C的坐標及二次函數解析式；

（2）在直線AB上方的拋物線上有動點E，作EG⊥x軸交x軸于點G，交AB于點M，作EF⊥AB于點F．若點M的橫坐標為m，求線段EF的最大值．

（3）拋物線對稱軸上是否存在點P使得△ABP為直角三角形，若存在請直接寫出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= ;（2）；（3）點P的坐標為（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣），理由見解析

【解析】

（1）利用待定系數法求出、、的坐標即可解決問題；

（2）易用表示線段的長度，再求得和的長度關系，根據等角三角函數或三角形相似即可解題；

（3）為直角三角形時，分別以三個頂點為直角頂點討論：根據三角形相似和勾股定理列方程解決問題.

（1）對于拋物線y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，

∴C（﹣1，0），A（3，0），

∴OC＝1，

∵OB＝2OC＝2，

∴B（0，2），

把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，，

∴二次函數解析式為；

（2）設直線AB的解析式為：y＝kx+b，

把A（3，0），B（0，2）代入得：，解得：，

∴直線AB的解析式為：，

由題意可設，，

則；

∵在Rt△AOB中，根據勾股定理，得，

∵∠EMF+∠FEM＝∠AMG+∠BAO＝90°，

∵∠AMG＝∠EMF，

∴∠FEM＝∠BAO，

，

∴，

∴，

∴當時，EF有最大值是；

（3）∵A（3，0），B（0，2），

∴OA＝3，OB＝2，

由對稱得：拋物線的對稱軸是：x＝1，

∴AE＝3﹣1＝2，

設拋物線的對稱軸與x軸相交于點E，當△ABP為直角三角形時，存在以下三種情況：

①如圖1，當∠BAP＝90°時，點P在AB的下方，

∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠PAE＝∠ABO，

∵∠AOB＝∠AEP，

∴△ABO∽△PAE，

∴，即，

∴PE＝3，

∴P（1，﹣3）；

②如圖2，當∠PBA＝90°時，點P在AB的上方，過P作PF⊥y軸于F，

同理得：△PFB∽△BOA，

∴，即，

∴，

∴，

∴；

③如圖3，以AB為直徑作圓與對稱軸交于P1、P2，則∠AP1B＝∠AP2B＝90°，

設P1（1，y），

∵AB2＝22+32＝13，

由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，

∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，

解得：，

∴或，

綜上所述，點P的坐標為（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）．