Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D，E．且．

（1）求證：AB=AC；

（2）若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）先連結AE，根據ASA判定△AEB≌△AEC，再根據全等三角形的性質得出AB=AC；

（2）先根據等腰三角形的性質以及勾股定理，求得AE和BE的長，再根據面積法求得BD的長，最后計算cos∠ABD的值．

試題解析：（1）方法一：連結AE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

∵，

∴∠BAE=∠CAE，

又AE=AE，

∴△AEB≌△AEC（ASA），

∴AB=AC；

方法二：∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠CDB=90°，

∵，

∴DE=BE，

∴∠CBD=∠BDE，

∴∠C=∠CDE，

∵ABED是圓內接四邊形，

∴∠CDE=∠CBA，

∴∠C=∠CBA，

∴AB=AC；

（2）由（1）知△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=BC=×12=6，

∵在Rt△ABE中，AB=10，BE=6，

∴AE==8，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴，

∴，

∴．