Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，且OE＝DE．點P為上一點（點P不與點B，C重合），連結AP，BP，CP，AC，BC．過點C作CF⊥BP于點F．給出下列結論：①△ABC是等邊三角形；②在點P從B→C的運動過程中，的值始終等于．則下列說法正確的是（　　）

A.①，②都對B.①對，②錯C.①錯，②對D.①，②都錯

Answer 1

【答案】A

【解析】

作CM⊥AP于M，連接AD，根據線段垂直平分線的性質得到AO=AD，證明△AOD是等邊三角形，求出∠D＝∠ABC＝60°，根據垂徑定理得到CA＝CB，從而證得①；利用圓周角定理求出∠CPF＝60°，根據角平分線的性質得到CF=CM，證明Rt△CPF≌Rt△CPM得到PF=PM，證明Rt△AMC≌Rt△BFC得到AM＝BF，求出再根據三角函數求出得到②正確.

如圖，作CM⊥AP于M，連接AD．

∵AE⊥OD，OE＝DE，

∴AO＝AD，

∵OA＝OD，

∴AO＝AD＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠D＝∠ABC＝60°，

∵CD⊥AB，

∴AE＝EB，

∴CA＝CB，

∴△ABC是等邊三角形，故①正確，

∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，

∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，

∴CF＝CM，

∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，

∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），

∴PF＝PM，

∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，

∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），

∴AM＝BF，

∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，

∴，

在Rt△CPF中，

∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，

，

，

∴，故②正確，

故選：A.