Question

（2014•安順）如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（ ）

A. B.1 C.2 D.2

 

Answer 1

A

【解析】

試題分析：作點B關于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′，根據軸對稱確定最短路線問題可得AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根據對稱性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，從而判斷出△AOB′是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得AB′=OA，即為PA+PB的最小值．

【解析】
作點B關于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′，

則AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值=AB′，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，

∵點B為劣弧AN的中點，

∴∠BON=∠AON=×60°=30°，

由對稱性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′=OA=×1=，

即PA+PB的最小值=．

故選：A．