Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C坐標為（－1，0），．一次函數的圖象經過點B、C，反比例函數的圖象經過點B．

（1）一次函數關系式為、反比例函數的關系式為____；

（2）當x＜0時，的解集為_____；

（3）在軸上找一點M，使得AM+BM的值最小，并求M的坐標和AM+BM的最小值．

（4）若x軸上有兩點E、F，點E在點F的左邊，且EF=1．當四邊形ABEF周長最小時，請直接寫出點E的橫坐標為_____

Answer 1

【答案】（1），；（2）-3＜x＜0；（3）點M的坐標為（-2，0），AM+BM的最小值為3

【解析】

（1）在Rt△AOC中求出AC的長度，然后求出sin∠CAO的值，過點B作BP⊥x軸于點P，由∠BCP=∠CAO，可求出，繼而得出PC，從而求得點B的坐標，利用待定系數法可求出一次函數和反比例函數關系式；

（2）不等式的含義為：當x<0時，求出一次函數值y=kx+b小于反比例函數 的x的取值范圍，數形結合即可得到答案；

（3）根據軸對稱的性質，找到點A關于x的對稱點，連接 ，則與x軸的交點即為點M的位置，求出直線的解析式，可得出點M的坐標，根據B，的坐標可求出AM+BM的最小值．

（4）要求四邊形ABEF周長最小，AB，EF為定長，周長最小即BE+AF最小，為此可確定E點的位置：作A關于x軸的對稱點，作 ‖x軸且=EF=1，連接交x軸于F；當 ，F，三點共線時周長最小，所以由此求出F點坐標即可求出E點坐標．

（1）

如圖，過點B作BP⊥x軸于點P，

在Rt△AOC中, AC= ，

則sin∠CAO=，

∵∠BCA=90°，

∴∠BCP+∠ACO=90°，

又∵∠CAO+∠ACO=90°，

∴∠BCP=∠CAO，

所以sin∠BCP=sin∠CAO=，

∴BP=1，CF=，

∴點B的坐標為（-3，1），將點B坐標代入反比例函數表達式可得1=，

解得：k=-3，故反比例函數解析式是，

將點B，C的坐標代入一次函數解析式可得：

解得： ，故一次函數解析式為；

綜上答案為：，．

（2）結合點B的坐標及圖象，可得當x＜0時，kx+b-＜0的解集為：-3＜x＜0．

（3）作點A關于x軸的對稱點A′，連接BA′與x軸的交點即為點M，

設直線BA'的解析式為y=ax+b，將點A'及點B的坐標代入可得：，解得：．故直線BA'的解析式為y=-x-2，

令y=0，可得-x-2=0，解得：x=-2，故點M的坐標為（-2，0），

AM+BM=BM+MA′=BA′==3，

綜上可得：點M的坐標為（-2，0），AM+BM的最小值為3．

（4）

如圖，作A關于x軸的對稱點，作 ‖x軸且=EF=1，連接交x軸于F；

當 ，F，三點共線時周長最小，所以此時由B(-3，1)可知（-2，1），

又（0，-2），設函數表達式為y=kx+b，代入求得k=，b=-2，

即y=x-2，

∴F點橫坐標為，

又EF=1，

∴E點橫坐標為-1=；

即此題答案為．