Question

【題目】圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：　 　；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：　 　個；

（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．

（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；

（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數；

（4）同（3），根據“8字形”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B，

故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；

⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；

⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6個，

故答案為：6；

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B，

又∵∠D＝50度，∠B＝40度，

∴2∠P＝50°+40°，

∴∠P＝45°；

（4）關系：2∠P＝∠D+∠B．

∠D+∠1＝∠P+∠3①

∠B+∠4＝∠P+∠2②

①+②得：

∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，

∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

∴2∠P＝∠D+∠B．