Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于點E，且DE=，AD=18，∠C=60°；

（1）BC=________

（2）若動點P從點D出發，速度為2個單位/秒，沿DA向點A運動，同時，動點Q從點B出發，速度為3個單位/秒，沿BC向點C運動，當一個動點到達端點時，另一個動點同時停止運動，設運動的時間為t秒。

①t=_______秒時，四邊形PQED是矩形；

②t為何值時，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；

③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）26；（2）①；②當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，理由詳見解析.

【解析】

（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數值可求CE，進而可求CD，再利用等腰梯形的性質可求BC；（2）①先畫圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對邊相等，于是PD=QE，再根據路程=速度×時間，可得2t=26-4-3t，進而可求t；②有兩種情況：（i）是PQ與AB構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質，對邊相等，可得AP=BQ，再根據路程=速度×時間，可得3t=18-2t，進而可求t； （ii）是PQ與CD構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質，對邊相等，可得PD=CQ，再根據路程=速度×時間，可得2t=26-3t，進而可求t；③根據②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°，

又∵∠C=60°，

∴CE==4，∠EDC=30°，

∴CD=2CE=8，

∵AD∥BC，AB=CD，

∴四邊形ABD是等腰梯形，

∴BC=2CE+AD=8+18=26；

故答案為：26；

（2）①設運動時間為t時，四邊形PQED是矩形，如圖，

∵四邊形PQED是矩形，

∴PD=QE，

∴2t=26-4-3t，

解得t=；

故答案為：；

②有兩種情況：

（i）設運動時間為t時，線段PQ與AB構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形ABQP是平行四邊形，

∴AP=BQ，

∴3t=18-2t，

解得t=，

（ii）設運動時間為t時，線段PQ與CD構成平行四邊形，如圖，

∵四邊形PQCD是平行四邊形，

∴PD=CQ，

∴2t=26-3t，

解得t= ，

綜上，當t=或時，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構成平行四邊形；

③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，

（i）當t=時，BQ=3t= ，

而AB=CD=8，

所以BQ≠AB，

∴四邊形ABQP不是菱形，

（ii）當t=時，DP=2t=，

而AB=CD=8，

所以DP≠AB，

∴四邊形PQCD不是菱形．