Question

【題目】如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB與△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于點D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直線BC是⊙O的切線

（2）解：∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2= ，

設；OC=r，BC= r，

由（1）證得△DOB≌△COB，

∴BD=BC= r，

由切割線定理得：AD2=AEAC=2（2+2r），

∴AD=2 ，

∵DE∥BO，

∴ ，

∴ ，

∴r=1，

∴AO=3．

【解析】（1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問題得證；（2）根據三角函數tan∠DEO=tan∠2= ，設；OC=r，BC= r，得到BD=BC= r，由切割線定理得到AD=2 ，再根據平行線分線段成比例得到比例式即可求得結果．