Question

【題目】已知函數y= 的圖象如圖所示，點P是y軸負半軸上一動點，過點P作y軸的垂線交圖象于A，B兩點，連接OA、OB．下列結論：
①若點M1（x1 ， y1），M2（x2 ， y2）在圖象上，且x1＜x2＜0，則y1＜y2；
②當點P坐標為（0，﹣3）時，△AOB是等腰三角形；
③無論點P在什么位置，始終有S△AOB=7.5，AP=4BP；
④當點P移動到使∠AOB=90°時，點A的坐標為（2 ，﹣ ）．
其中正確的結論個數為（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①錯誤．∵x1＜x2＜0，函數y隨x是增大而減小，∴y1＞y2 ， 故①錯誤．
②正確．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB=5，OA= =5，
∴AB=AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正確．
③正確．設P（0，m），則B（ ，m），A（﹣ ，m），
∴PB=﹣ ，PA=﹣ ，
∴PA=4PB，
∵SAOB=S△OPB+S△OPA= + =7.5，故③正確．
④正確．設P（0，m），則B（ ，m），A（﹣ ，m），
∴PB=﹣ ，PA=﹣ ，OP=﹣m，
∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，
∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，
∴∠BOP=∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴ = ，
∴OP2=PBPA，
∴m2=﹣ （﹣ ），
∴m4=36，
∵m＜0，
∴m=﹣ ，
∴A（2 ，﹣ ），故④正確．
∴②③④正確，
故選C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用一次函數的性質和等腰三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．