Question

如圖，矩形OABC的頂點B的坐標為(1，2)，反比例函數y＝(0<m<2)的圖象與AB交于點E，與BC交于點F，連接OE、OF、EF．
(1)若點E是AB的中點，則m＝     ，S△OEF＝       ；
(2)若S_△OEF＝2S_△BEF，求點E的坐標；
(3)是否存在點E及y軸上的點M，使得△MFE與△BFE全等?若存在，寫出此時點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）m=1；S_△OEF= ；
(2)點E的坐標為（1，）
（3）存在；E點坐標為（1， ）

解析試題分析：（1）先得到E點坐標為（1，1），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得到k=1，再利用F的縱坐標為2可確定F點坐標為（ ，2），則可根據S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF進行計算；
（2）由題意，E（1，m)，F(,2),可表示出△BEF的面積,進而可表示出△OEF與△BEF的面積之和,從而可得到m的值，進而得到點E的坐標；
作EH⊥y軸于C，如圖，設E點坐標為（1，m），則F（ ，2），：
由于m＜2，則由△MFE≌△BFE得到MF="BF=1-m"
ME=BE=2-m，∠FME=90°，易證得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=m，然后在Rt△MHM中，根據勾股定理得1²+m²=（2-km）²，解得m= ，則E點坐標為（1，）
試題解析：（1）∵B點坐標為（1，2），點E是AB的中點，AB⊥X軸，
∴E點坐標為（1，1），
∵點E在函數為y=上，
∴1=，
∴m=1
把y=2代入y=得 =2，解得x=，
∴F點坐標為（ ，2），
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF
=1×2-×1×1 -××2-× × 1
= ；
(2)根據題意，E（1，m)，F(,2)
∴S_△BEF=，
∵S_△OAE=S_△OCF=
∴S_△BEF+S_△OEF=2-m，
∵S_△OEF=2S_△BEF，
∴S_△BEF=，
∴=，
解得，m=2（舍去）,或m=
∴點E的坐標為（1，）
（3）作EH⊥y軸于C，如圖，

設E點坐標為（1，m），則F（，2），
當m＜2時，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1- ，ME=BE=2-m，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH==m，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+m²=（2-m）²，解得m= ，
∴E點坐標為（1， ）
考點：1、反比例函數圖象上點的坐標特征；2、三角形全等的性質和矩形性質；3、勾股定理；4、相似比