Question

觀察下列算式：
①1×4-2²=4-4=0=1-1
②2×5-3²=10-9=1=2-1
③3×6-4²=18-16=2=3-1
④

4×7-5²=28-25=3=4-1

…
（1）省去中間兩個等號，第4個算式可寫為

4×7-5²=4-1

；
（2）省去中間兩個等號，第n個算式可寫為

n（n+3）-（n+1）²=n-1

；
（3）你認為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據規律，第四個算式的第一個因數為4，第二個因數為7，減數為5的平方，然后進行計算即可得解；
（2）根據規律寫出即可；
（3）利用單項式乘以多項式的運算法則，完全平方公式進行計算即可得證．

解答：（1）解：①1×4-2²=4-4=0=1-1，
②2×5-3²=10-9=1=2-1，
③3×6-4²=18-16=2=3-1，
④4×7-5²=28-25=3=4-1，
所以，4×7-5²=4-1；

（2）解：第n個算式為：n（n+3）-（n+1）²=n-1；

（3）n（n+3）-（n+1）²=n-1一定成立．
證明：n（n+3）-（n+1）²=n²+3n-（n²-2n+1）=n²+3n-n²-2n-1，
=n-1，
即n（n+3）-（n+1）²=n-1．
故答案為：（1）4×7-5²=4-1；（2）n（n+3）-（n+1）²=n-1．

點評：本題是對數字變化規律的考查，比較簡單，觀察出相乘的兩個因數與平方數的底數的關系式是解題的關鍵．