Question

已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的頂點P的坐標(biāo)是,與y軸的交點是M(0,c)我們稱以M為頂點,對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L的伴隨直線.

(1)請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式:

    伴隨拋物線的關(guān)系式_________________

    伴隨直線的關(guān)系式___________________

(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是___________:

(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式;

(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x 軸交于C,D兩點,且AB=CD,請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.

 

Answer 1

(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.

   (2)y=x2-2x-3

   (3)∵伴隨拋物線的頂點是(0,c),

    ∴設(shè)它的解析式為y=m(x-0)2+c(m≠0).

    ∴設(shè)拋物線過P,

    ∴

    解得m=-a,∴伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax2+c.

    設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k≠0).

    ∵P在此直線上,∴, ∴k=.

    ∴伴隨直線關(guān)系式為y=x+c

   (4)∵拋物線L與x軸有兩交點,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.

∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.

對于伴隨拋物線y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.

∴,∴CD=2.

    又AB=x2-x1=.

由AB=CD,得=2, 整理得b2=8ac,綜合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,

得a,b,c滿足的條件為b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).

解析:略