Question

【題目】在坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點C，
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點D為此拋物線上位于直線AC上方的一個動點，當△DAC的面積最大時，求點D的坐標；
（3）設拋物線頂點關于y軸的對稱點為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G．點N是拋物線對稱軸上一動點，如果直線MN與圖象G有公共點，請結合函數的圖象，直接寫出點N縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

由題意可知：a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣1（x+3）（x﹣1）即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）

解：如圖所示：過點D作DE∥y軸，交AC于點E．

∵當x=0時，y=3，

∴C（0，3）．

設直線AC的解析式為y=kx+3．

∵將A（﹣3，0）代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設點D的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），則E點的坐標為（x，x+3）．

∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x．

∴△ADC的面積= DEOA= ×3×（﹣x2﹣3x）=﹣ （x+ ）2+ ．

∴當x=﹣ 時，△ADC的面積有最大值．

∴D（﹣ ， ）．

（3）

解：如圖2所示：

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，4）．

∵點M與拋物線的頂點關于y軸對稱，

∴M（1，4）．

∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，

∴點M在直線AC上．

∵將x=﹣1代入直線AC的解析式得：y=2，

∴N（﹣1，2）．

又∵當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為（﹣1，4）．

∴當2＜t≤4時，直線MN與函數圖象G有公共點．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），然后將a=﹣1代入即可求得拋物線的解析式；（2）過點D作DE∥y軸，交AC于點E．先求得點C的坐標，然后利用待定系數法求得直線AC的解析式，設點D的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），則E點的坐標為（x，x+3），于是得到DE的長（用含x的式子表示，接下來，可得到△ADC的面積與x的函數關系式，最后依據配方法可求得三角形的面積最大時，點D的坐標；（3）如圖2所示：先求得拋物線的頂點坐標，于是可得到點M的坐標，可判斷出點M在直線AC上，從而可求得點N的坐標，當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為（﹣1，4），于是可確定出t的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．