Question

請閱讀材料：
①一般地，n個相同的因數a相乘：記為aⁿ，如2³=8，此時，指數3叫做以2為底8的對數，記為log=3（即=3）．　
②一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則指數n叫做以a為底b的對數，記為（即=n），如3⁴=81，則指數4叫做以3為底81的對數，記為（即=4）．
（1）計算下列各對數的值：
log₂4=______；　 log₂16=______；　　log₂64=______．
（2）觀察（1）題中的三數4、16、64之間存在的關系式是______，那么log₂4、log₂16、log₂64存在的關系式是______．
（3）由（2）題的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？
log_aM+log_aN=______　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）請你運用冪的運算法則a^m•aⁿ=a^m+n以及上述中對數的定義證明（3）中你所歸納的結論．

Answer 1

解：（1）∵2²=4，∴log₂4=2，
∵2⁴=16，∴log₂16=4，
∵2⁶=64，∴log₂64=6；

（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；

（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）；

（4）證明：設log_aM=x，log_aN=y，
則ax=M，ay=N，
∴MN=ax•ay=a^x+y，
∴x+y=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．
故答案為：2，4，6．
分析：（1）根據對數的定義求解；
（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）有特殊到一般，得出結論：log_aM+log_aN=log_a（MN）；
（4）首先可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明結論．
點評：此題主要考查了同底數冪的乘法應用，本題是開放性的題目，難度較大．借考查對數，實際考查學生對指數的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數應有的性質．