Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在BC邊上，點F在BC延長線上，且∠CDF=∠BAE．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，

∵∠BAE=∠CDF，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴BE=CF，

∴BC=EF，

∵BC=AD，

∴EF=AD，

又∵EF∥AD，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）解：由（1）知：EF=AD=5，

在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，

∴DE2+DF2=EF2，

∴∠EDF=90°，

∴ EDDF= EFCD，

∴CD= ．

【解析】（1）直接利用矩形的性質結合全等三角形的判定與性質得出BE=CF，進而得出答案；（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，進而得出 EDDF= EFCD，求出答案即可．