Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經過點，過作于點，過作于點.求證：；

（模型應用）

（2）已知直線：與坐標軸交于點、，將直線繞點逆時針旋轉至直線，如圖2，求直線的函數表達式；

（3）如圖3，長方形，為坐標原點，點的坐標為，點、分別在坐標軸上，點是線段上的動點，點是直線上的動點且在第四象限.若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝7x21；（3）D（4，2）或（，）.

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定；

（2）①過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（4，7），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；

（3）根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y＝2x＋6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，2x＋6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，據此列出方程進行求解即可．

解：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠EBC，

在△ACD與△CBE中，，

∴（AAS）；

（2）①如圖2，過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD＝AO，CD＝OB，

∵直線l1：y＝x＋4中，若y＝0，則x＝3；若x＝0，則y＝4，

∴A（3，0），B（0，4），

∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，

∴OD＝4＋3＝7，

∴C（4，7），

設l2的解析式為y＝kx＋b，則，

解得：，

∴l2的解析式為：y＝7x21；

（3）D（4，2）或（，）．

理由：當點D是直線y＝2x＋6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：

當點D在矩形AOCB的內部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交BC于F，

設D（x，2x＋6），則OE＝2x6，AE＝6（2x6）＝122x，DF＝EFDE＝8x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，即：122x＝8x，

解得x＝4，

∴2x＋6＝2，

∴D（4，2），

此時，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合題意；

當點D在矩形AOCB的外部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，2x＋6），則OE＝2x6，AE＝OEOA＝2x66＝2x12，DF＝EFDE＝8x，

同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，即：2x12＝8x，

解得x＝，

∴2x＋6＝，

∴D（，），

此時，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PFBF＝＜6，符合題意，

綜上所述，D點坐標為：（4，2）或（，）