Question

【題目】如圖1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax2+bx+n（a≠0）過E，A′兩點．

（1）填空：∠AOB= °，用m表示點A′的坐標：A′（ ， ）；
（2）當拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且=時，△D′OE與△ABC是否相似？說明理由；
（3）若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為點M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：
①求a，b，m滿足的關系式；
②當m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為10，請你探究a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）45　；m　；﹣m　
（2）

解：△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵，

∴P（2m，m），

∵A′為拋物線的頂點，

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣m）2﹣m，

∵拋物線過點E（0，n），

∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，

∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

∵∠EOD′=∠ABC=90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）

解：①當點E與點O重合時，E（0，0），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點E，A，

∴，

整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；

②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點，

∴拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，

若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為10，

∴a（3m）2﹣（1+am）3m=0，

整理得：am=，即拋物線解析式為y=x2﹣x，

由A（2m，2m），可得直線OA解析式為y=x，

聯立拋物線與直線OA解析式得：，

解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），

令5m=10，即m=2，

當m=2時，a=；

若拋物線過點A（2m，2m），則a（2m）2﹣（1+am）2m=2m，

解得：am=2，

∵m=2，

∴a=1，

則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為≤a≤1．

【解析】（1）由B與C的坐標求出OB與OC的長，根據OC﹣OB表示出BC的長，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數；由旋轉的性質得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根據題意表示出A與B的坐標，由，表示出P坐標，由拋物線的頂點為A′，表示出拋物線解析式，把點E坐標代入整理得到m與n的關系式，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證；
（3）①當E與原點重合時，把A與E坐標代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關系式；
②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種情況考慮：若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為10，求出此時a的值；若拋物線過點A（2m，2m），求出此時a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和二次函數的圖象的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能正確解答此題．