Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D′、E′，當(dāng)直線D′E′經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，線段CD′的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：①點(diǎn)A在ED的延長(zhǎng)線上時(shí)；②點(diǎn)A在線段DE的延長(zhǎng)線上時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長(zhǎng)各是多少即可．

解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在ED的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴AB=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，

∴DE∥AC，DE=AC=1， BD=BC=2，

∴∠EDB=∠ACB=90°

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，

∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD=2，

∵在Rt△ABC和Rt△BAD′中，

D′B=AC=2，AB=BA，

即,

∵Rt△ABC≌Rt△BAD′（HL），

∴AD′=BC，且AC=D′B，

∴四邊形ACBD′是平行四邊形，且∠ACB=90°，

∴四邊形ACBD′是矩形，

∴CD=AB=2；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在線段D′E′的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠AD′B=90°，

∴AD′=，

∴AE=AD′-DE′=3，

∵將△BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，

∴∠ABC=∠EBD，

∵，

∴△ABE∽△BCD′

∴，

∴，

，

故答案為：或．