Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（a，0），B（b，0），且a、b滿足a=+﹣1，現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC．

（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA，PB，使S△PAB=S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）的值是否發生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）點P的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；（3）比值不變．

【解析】

試題分析：（1）根據被開方數大于等于0列式求出b，再求出a，從而得到A、B的坐標，再根據向上平移縱坐標加，向右平移橫坐標加求出點C、D的坐標即可，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；

（2）根據三角形的面積公式列出方程求出OP，再分點P在y軸正半軸和負半軸兩種情況討論求解；

（3）根據平移的性質可得AB∥CD，再過點P作PE∥AB，根據平行公理可得PE∥CD，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，從而判斷出比值不變．

解：（1）由題意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，

解得b≤3且b≥3，

∴b=3，

a=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，

∴點C（0，2），D（4，2）；

∵AB=3﹣（﹣1）=3+1=4，

∴S四邊形ABDC=4×2=8；

（2）∵S△PAB=S四邊形ABDC，

∴×4OP=8，

解得OP=4，

∴點P的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；

（3）=1，比值不變．

理由如下：由平移的性質可得AB∥CD，

如圖，過點P作PE∥AB，則PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，

∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，

∴=1，比值不變．