Question

2．如圖，等腰Rt△ABC（∠C=90°）與正方形MNPQ中，AC=MN=4，點A從M點位置出發向右運動，直到C與N點重合為止，設△ABC與正方形MNPQ的重疊部分面積為y，MA=x，則y與x之間的函數解析式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x（4＜x≤8）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 分兩種情況進行討論：①當0＜x≤4cm時，重合部分是邊長為x的等腰直角三角形，根據三角形的面積公式求解；②當4＜x≤8時，重合部分是直角梯形，設AB與PN交于點D，根據y=S_△ABC-S_△ADN即可求解．

解答 解：分兩種情況：
①當0＜x≤4cm時，重合部分是邊長為x的等腰直角三角形，如圖1，
面積y=$\frac{1}{2}$AM²=$\frac{1}{2}$x²；
②當4＜x≤8時，重合部分是直角梯形，如圖2，設AB與PN交于點D，
∵MA=x，MN=4，
∴AN=AM-MN=x-4．
面積y=S_△ABC-S_△ADN
=$\frac{1}{2}$AC²-$\frac{1}{2}$AN²
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$（x-4）²
=8-$\frac{1}{2}$（x²-8x+16）
=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
故答案為y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x（4＜x≤8）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數的應用，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，利用了分類討論與數形結合思想，具有很強的綜合性，關鍵是得出每段函數的函數解析式．