Question

直線y=－x+b與雙曲線相交于點D(－4，1)、C(1，m)，并分別與坐標軸交于A、B兩點，過點C作直線MN⊥x軸于F點，連接BF．

（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）作出△ABF的外接圓，并求出圓心I的坐標；
（3）在（2）中⊙I與直線MN的另一交點為E，判斷點D、I、E是否共線？說明理由.

Answer 1

（1）y=－x－3，y=；（2）I（－1，－1）；（3）不共線

試題分析：（1）先由題意直接把點D(－4，1)代入直線y=－x+b與雙曲線求解即可；
（2）根據三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點即可求得結果；
（3）先求得⊙I與直線MN的另一交點E的坐標，再求得過D、I的直線解析式，即可作出判斷.
（1）∵直線y=－x+b與雙曲線相交于點D(－4，1)
∴，解得
∴直線解析式為y=－x－3，雙曲線解析式為y=；
（2）在y=－x－3中，當y=0時x=－3，即點A的坐標為（－3，0）
而點F的坐標為（1，0），則AF的中點的坐標為（－1，0）
在y=－x－3中，當x=－1時y=－1
所以圓心I的坐標為（－1，－1）；
（3）由題意得⊙I與直線MN的另一交點E的坐標為（1，－2）
易得過D、I的直線解析式
當x=1時，
∴點D、I、,E不共線.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．