Question

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點E，點C（4，-2），點D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點H的坐標為（-1，-1），動點G從B出發，以1個單位/秒的速度沿著BC邊向C點運動（點G可以與點B或點C重合），求△HGE的面積S（S≠0）隨動點G的運動時間t′秒變化的函數關系式（寫出自變量t′的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當秒時，點G停止運動，此時直線GH與y軸交于點N．另一動點P開始從B出發，以1個單位/秒的速度沿著梯形的各邊運動一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（點P可以與梯形的各頂點重合）．設動點P的運動時間為t秒，點M為直線HE上任意一點（點M不與點H重合），在點P的整個運動過程中，求出所有能使∠PHM與∠HNE相等的t的值．

Answer 1

解：（1）如圖1，過A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵，∴，
∴直線AB的解析式為y=．

（2）如圖1，由題意：
情況一：G在線段BE上且不與點E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×；
情況二：G在線段CE上且不與點E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×；
情況一中的自變量的取值范圍：0≤t′＜5，
情況二中的自變量的取值范圍：5＜t′≤9．

（3）如圖2，
當t′=秒時，GE=5-
∴G（-，-2），直線GH解析式為y=2x+1．
∴N（0，1）．
當點M在射線HF上時，有兩種情況：
情況一：當點P運動至P₁時，∠P₁HM=∠HNE．
過點P₁作平行于y軸的直線，交直線HE于點Q₁，交BC于點R．
由BP₁=t，sin∠ABC=，可得BR=，P₁R=，
∴RE=Q₁R=5-，
∴P₁Q₁=5-．
∴Q₁H=．
由△P₁Q₁H∽△HEN得，
∴t₁=．
∴當t₁=時，∠P₁HM=∠HNE；
情況二：當點P運動至點P₂時，
設直線P₂H與x軸交于點T，直線HE與x交于點Q₂．
此時，△Q₂TH∽△EHN
∴解得．
∴直線HT的解析式為y=-3x-4，此時直線HT恰好經過點A（-2，2）．
∴點P₂與點A重合，即BP₂=5，
∴t₂=5．
∴當t₂=5秒時，∠P₂HM=∠HNE；
若點M在射線HE上時（點M記為點M₁），有兩種情況：
情況三：當點P運動至點P₃時，∠P₃HM₁=∠HNE．
過點P₃作平行于y軸的直線P₃Q₃，交直線HE于點Q₃，可用求點P₁同樣的方法．
∴t₃=15．
∴當t₃=15秒時，∠P₃HM₁=∠HNE；
情況四：當點P運動至P₄時，∠P₄HM₁=∠HNE．
可得△P₄HE≌△THQ₂，∴P₄E=TQ₂=．∴t₄=
∴當t₄=秒時，∠P₄HM₂=∠HNE．
綜上所述：當t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒時，∠PHM=∠HNE．
分析：（1）作AF⊥BC．已知點C的坐標可求出BC=9，CE=4，BE=5，又知道點B，C的坐標然后利用三角函數可求出點A的坐標．
設直線AB的解析式為y=kx+b，把已知坐標代入可求出解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：首先當G在線段BE上且不與點E重合，可得GE=5-t′，S=（5-t′）×1×；
當G在線段CE上且不與點E重合，這時候GE=t′-5，S=（t′-5）×，分別求出自變量的取值范圍即可．
（3）如圖可求出GE的長與點G的坐標后可得點N的坐標．當點M在射線HF上時，分四種情況討論：
當點P運動至P₁時，∠P₁HM=∠HNE．過點P₁作平行于y軸的直線，證明△P₁Q₁H∽△HEN得，然后求出t₁的值；
當點P運動至點P₂時，∠P₂HN=∠HNE．設直線P₂H與x軸交于點T，直線HE與x交于點Q₂．可得△Q₂TH∽△EHN，利用解得Q₂T的長以及點T的坐標．求出直線HT的解析式后求出t₂的值；
當點P運動至點P₃時，∠P₃HM₁=∠HNE．過點P₃作平行于y軸的直線P₃Q₃，交直線HE于點Q₃，同1求出t的坐標；
當點P運動至P₄時，∠P₄HM₁=∠HNE．求證△P₄HE≌△THQ₂，求出t的值．
點評：本題考查的是一次函數的綜合運用以及分段函數的運用，本題難度較大，考生應注意全面分析題目求解．