Question

【題目】在等腰三角形中，過其中的一個頂點的直線如果能把這個等腰三角形分成兩個小的等腰三角形，我們稱這種等腰三角形為“少見的三角形”，這條直線稱為分割線，下面我們來研究這類三角形．

（1）等腰直角三角形是不是“少見的三角形”？

（2）已知如圖所示的鈍角三角形是一個“少見的三角形”，請你畫出分割線的大致位置，并求出頂角的度數；

（3）銳角三角形中有沒有“少見的三角形”？如果沒有，請說明理由；如果有，請畫出圖形并求出頂角的度數．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形是“少見的三角形”；（2）頂角∠BAC=108°；畫圖見解析；（3）有，頂角是36°；畫圖見解析．

【解析】

（1）畫出圖形，利用三角形內角和進行計算，可得等腰直角三角形是“少見的三角形”；

（2）畫出圖形，利用等腰三角形的性質、三角形內角和進行解答；

（3）有，畫出圖形，利用等腰三角形的性質、三角形內角和進行解答．

解：（1）如圖1，

當過頂角∠C的頂點的直線CD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

設∠A=x°，

則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

則頂角是90°；

∴△ABC是等腰直角三角形，

即等腰直角三角形是“少見的三角形”；

（2）如圖2，

AC=CD=AB，BD=AD，

設∠B=x°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B=x°，

∵BD=AD，

∴∠BAD=∠B=x°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，

∵AC=DC，

∴∠ADC=∠CAD=2x°，

∴∠BAC=3x°，

∴x+x+3x=180，

x=36°，

則頂角∠BAC=108°．

（3）如圖3，

當過底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，

設∠C=x°，

∵AD=CD，

∴∠CAD=∠C=x°，

∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，

∵AD=AB，

∴∠B=∠ADB=2x°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B=2x°，

∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180，

x=36°，

則頂角是36°．