Question

【題目】如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．

（1）求點B的坐標．
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC ， 求點P的坐標．
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，

∴A、B兩點關于直線x=﹣1對稱，

∵點A的坐標為（﹣3，0），

∴點B的坐標為（1，0）；

（2）解：

①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，

∴ =﹣1，解得b=2．

將B（1，0）代入y=x2+2x+c，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

則二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），OC=3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴ ×3×|x|=4× ×3×1，

∴|x|=4，x=±4．

當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；

②設直線AC的解析式為y=kx+t （k≠0）將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得 ，解得 ，

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設Q點坐標為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴當x=﹣ 時，QD有最大值 ．

【解析】（1）由已知可知A、B兩點關于直線x=﹣1對稱，即可求得點B的坐標。
（2）①根據已知，利用待定系數法求出函數解析式，由y=0求出點C的坐標，由點B、點C的坐標求出△OBC的面積，然后設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），根據S△POC=4S△BOC，建立方程求解，即可得出點P的坐標；②根據點A、C的坐標求出直線AC的解析式，由于Q是線段AC上的動點，QD⊥x軸交拋物線于點D，得出點Q和點D的橫坐標相等為x，即可分別表示出它們的縱坐標，再建立QD關于x的函數解析式，求出頂點坐標，即可求得線段QD長度的最大值。
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式和二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．