Question

如圖，已知二次函數y=ax²+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點A（-2，0），B，

與y軸交于點C，tan∠ABC=2．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得經過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？

 

Answer 1

解：（1）依題意，可知 C(0,8),則B(4,0)

將A(-2,0)，B(4，0)代入y=ax²+bx+8，

 解得

 

配方得y，頂點D（1,9）.    ---------3分

（2）假設滿足條件的點存在，依題意設

由求得直線的解析式為，

它與軸的夾角為．

過點P作PN⊥y軸于點N.

依題意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°.

∵PN=2，∴ON= 或2．

 

∴存在滿足條件的點，的坐標為（2， ）和(2，2)．-----------6分

 

（3）由上求得．

當拋物線向上平移時，可設解析式為．

當時，．

當時，．

或．

由題意可得m的范圍為．

∴ 拋物線最多可向上平移72個單位．    -----------8分

解析:略