Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足為G，則：
（1）△ABF與△ AGF全等嗎？說明理由；
（2）求∠EAF的度數；
（3）若AG=4，△AEF的面積是6，求△CEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABF與△ AGF全等，理由如下：
在RtABF和Rt AGF中，
,
∴△ABF△ AGF.

（2）解：∵△ABF△ AGF，
∴BAF=GAF，
同理易得：△AGE△ ADE，有GAE=DAE，
即EAF=EAD+FAG=BAD=45.

（3）解：∵SAEF=EFAG，AG=4，
∴6=EFAG，
∴EF=3，
∵BF=FG，EG=DE，AG=AB=BC=CD=4，設FC=x，EC=y，則BF=4-x，DE=4-y，
∵BF+DE=FG+EG=EF=3，
∴4-x+4-y=3，
∴x+y=5 ①
在RtEFC中，∵EF2=EC2+FC2，
∴x2+y2=32 ②
①2-②得到，2xy=16，
∴SCEF=xy=4.

【解析】（1）根據HL可得出△ABF△ AGF；（2）只要證明BAF=GAF，GAE=DAE，即可求出EAF=45；（3）設FC=x，EC=y，則BF=4-x，DE=4-y，構建方程組，求出xy即可求出△CEF的面積．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．