Question

如圖，已知二次函數y=ax²-bx-c的圖象與x軸交于A、B兩點，當時x=1，二次函數取得最大值4，且|OA|=-+2，
（1）求二次函數的解析式．
（2）已知點P在二次函數的圖象上，且有S_△PAB=8，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，設二次函數為y=a（x-1）²+4，
令y=0，解得：x=1±，
故A的橫坐標為x=1+，即|OA|=-+2=1+，
解得：a=-1，
則二次函數的解析式是
y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；

（2）令y=0，得A、B坐標為（3，0），（-1，0），
則|AB|=4，
設點P的坐標為（x，y），
由題意S_△PAB=8，得|y|=4，
則y=±4，即4=-x²+2x+3或-4=-x²+2x+3，
解得：x=1或x=1±2，
故所求點P的坐標為（1，4），（1+2，-4），（1-2，-4）．
分析：（1）由拋物線的頂點坐標設出頂點形式，令y=0表示出x，確定出|OA|的長，由題意列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出二次函數解析式；
（2）對于二次函數，令y=0求出x的值，確定出A與B的坐標，求出|AB|的長，根據三角形PAB的面積求出P縱坐標的絕對值為4，求出P縱坐標，代入二次函數求出x的值，確定出P橫坐標，即可求出P的坐標．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數的性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．