Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中點，有以下四個命題：
①如果AB+DC=BC，則∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，則AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分線，則∠BEC=90°，
④如果AB+DC=BC，則CE是∠DCB的平分線，
其中真命題的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

過點E作EF∥CD，
∵AB∥DC，E是AD的中點，
∴AB∥EF∥CD，EF=

1

2

（AB+CD）；
①∵AB+DC=BC，
∴EF=

1

2

BC，
∴∠BEC=90°；正確；
②∵∠BEC=90°，
∴EF=

1

2

BC，
∴AB+DC=BC；正確；
③∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE，
∴∠BEF=∠FBE，
∴EF=BF，
∴EF=

1

2

BC，
∴∠BEC=90°；正確；
④∵AB+DC=BC，
∴EF=CF=

1

2

BC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DCE=∠FCE，
即CE是∠DCB的平分線，正確．
故選D．