Question

（2012•河源）如圖，矩形OABC中，A（6，0），C（0，2

3

），D（0，3

3

），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點，滿足∠PQO=60°．
（1）①點B的坐標是

（6，2

3

）

；②∠CAO=

30

度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為

（3，3

3

）

；（直接填寫答案）
（2）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標；②由正切函數，即可求得∠CAO的度數，③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；
（2）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2

3

），
∴點B的坐標為：（6，2

3

）；

②∵tan∠CAO=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠CAO=30°；

③如圖1：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3

3

），
∴PE=3

3

，
∴AE=

PE

tan60°

=3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴點P的坐標為（3，3

3

）；
故答案為：①（6，2

3

），②30，③（3，3

3

）；

（2）當0≤x≤3時，
如圖2，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得

EF

OQ

=

PE

PO

=

DC

DO

=

3

3 3

=

1

3

，
EF=

1

3

（3+x），
此時重疊部分是梯形，其面積為：
S_梯形=

1

2

（EF+OQ）•OC=

4 3

3

（3+x）；
如圖3，當3＜x≤5時，∵AQ=OI+IQ-OA=x+3-6=x-3，
則AH=

3

（x-3），
則S=S_梯形EFQO-S_△HAQ=S_梯形EFQO-

1

2

AH•AQ
=

4 3

3

（3+x）-

3

2

（x-3）²，
=-

3

2

x²+

13 3

3

x-

3

2

如圖4，當5＜x≤9時，∵CE∥DP，
∴

CO

DO

=

CE

DP

，
∴

2 3

3 3

=

CE

x

，
∴CE=

2

3

x，
∴BE=6-

2

3

x，
∴S=

1

2

（BE+OA）•OC=

3

（12-

2

3

x），
如圖5，當9＜x時，∵AH∥PI，
∴

AO

OI

=

AH

PI

，
∴

6

x

=

AH

3 3

，
∴AH=

18 3

x

，
∵AO=6，
∴S=

1

2

OA•AH=

54 3

x

．

點評：此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．