Question

如圖1，在一次航海模型船訓練中，A₁B₁和A₂B₂是水面上相鄰的兩條賽道（看成兩條互相平行的線段）．甲船在賽道A₁B₁上從A₁處出發，到達B₁后，以同樣的速度返回A₁處，然后重復上述過程；乙船在賽道A₂B₂上以2m/s的速度從B₂處出發，到達A₂后以相同的速度回到B₂處，然后重復上述過程（不考慮每次折返時的減速和轉向時間）．若甲、乙兩船同時出發，設離開池邊B₁B₂的距離為y（m），運動時間為t（s），甲船運動時，y（m）與t（s）的函數圖象如圖2所示．

（1）賽道的長度是______m，甲船的速度是______m/s；
（2）分別求出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60時，y關于t的函數關系式；
（3）求出乙船由B₂到達A₂的時間，并在圖2中畫出乙船在3 分鐘內的函數圖象；
（4）請你根據（3）中所畫的圖象直接判斷，若從甲、乙兩船同時開始出發到3分鐘為止，甲、乙共相遇了幾次？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于甲船在賽道A₁B₁上從A₁處出發，到達B₁后，以同樣的速度返回A₁處，然后重復上述過程，又因為y表示船離開池邊B₁B₂的距離，所以圖2中當t=0時對應的y值即為賽道的長度；因為30秒鐘甲船從A₁處運動到B₁處，即30s運動90m，根據速度=路程÷時間，即可求出甲船的速度；
（2）先根據圖象的形狀，可判斷出甲船在0≤t≤30和30＜t≤60時，y都是t的一次函數，設出其解析式，再運用待定系數法求解；
（3）乙船的速度為2m/s，由B₂到達A₂的路程為賽道的長度90m，根據時間=路程÷速度，即可求出乙船由B₂到達A₂的時間為45s；乙船在3分鐘內可運動2個來回，每45s可從賽道一端運動到另外一端，起點在原點，據此在圖2中畫出乙船在3分鐘內的函數圖象；
（4）兩個圖象的交點個數即為相遇次數．
解答：解：（1）圖2中，∵t=0時，y=90，
∴賽道的長度是90m；
∵甲船30s運動90m，
∴速度為90÷30=3（m/s）；
故答案為90，3；                                  

（2）當0≤t≤30時，設y=kt+b，
將（0，90），（30，0）代入，得，
解得，
則y=90-3t（0≤t≤30）；
當30＜t≤60時，設y=mt+n，
將（30，0），（60，90）代入，得，
解得，
則y=3t-90（30＜t≤60）；

（3）∵賽道的長度為90米，乙船的速度為2米/秒，
∴乙船由B₂到達A₂的時間為90÷2=45（秒）；           
乙船在3分鐘內的函數圖象如圖3所示：

（4）從圖3可知甲、乙共相遇5次．
點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了分段函數，以及分段函數的圖象及其應用，考查了數形結合的思想與方法．