Question

【題目】在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；

（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP的長，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ的長；

（2）連結OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據勾股定理表示出PQ=，則當OP的長最小時，PQ的長最大，由垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，即可求出PQ長的最大值．

試題解析：（1）連結OQ，如圖1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ==；

（2）連結OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，PQ==，當OP的長最小時，PQ的長最大，此時OP⊥BC，則OP=OB=，∴PQ長的最大值為=．