Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．

（1）求證：△ABE≌△CAF

（2）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，試探索EF、 BE、CF三條線段的關系；

（3）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求FE長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF=BE=CF.理由見解析；（3）EF的長為7.

【解析】

（1）由條件可以得出∠BAE=∠ACF，∠AEB=∠CFA，就可以得出△ABE≌△CAF；

（2）由△ABE≌△CAF就可以得出EF=BE+CF；

（3）通過證明三角形△ABE≌△CAF就可以得出結論．

（1）BAE+∠CAF=90°.

∵BE⊥EF,CF⊥EF,

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴∠BAE=∠ACF.

在△ABE和△CAF中

∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA

∴△ABE≌△CAF(AAS)；

(2)EF=BE=CF.理由：

證明：∵△ABE≌△CAF，

∴AE=CF，BE=AF.

∵EF=AE+AF，

∴EF=CF+BE；

(3)如圖2,∵∠BAC=90°，

∴∠BAF+∠CAF=90°.

∵BE⊥EF,CF⊥EF,

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴∠BAE=∠ACF.

在△ABE和△CAF中，

∠BAE=∠ACF∠AEB=∠CFAAB=CA，

∴△ABE≌△CAF(AAS)，

∴BE=AF，AE=CF.

∵EF=AFAE，

∴EF=BECF=103=7.

答：EF的長為7.