Question

（2002•四川）已知拋物線y=x²和直線y=（m²-1）x+m²．
（1）當m為何實數時，拋物線與直線有兩個交點；
（2）設坐標原點為O，拋物線與直線的交點從左至右分別為A、B、當直線與拋物線兩點的橫坐標之差為3時，求△AOB中的OB邊上的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立拋物線和直線的解析式，可得出一個關于x的一元二次方程，如果拋物線與直線有兩個交點，那么方程的△＞0，由此可得出m的值．
（2）本題要先根據（1）兩函數聯立得出的方程求出A，B的橫坐標，然后根據兩點的橫坐標差為3，求出m的值，即可求出A，B兩點的坐標，然后根據A，B的坐標來求△AOB中OB邊上的高．
解答：解：（1）由，
有：x²-（m²-1）x-m²=0…①
△=[-（m²-1）]²-4（-m²）=（m²+1）²＞0
∴無論m取任何實數，方程①總有兩個不同的實數根．
即無論m取任何實數，直線與拋物線總有兩個不同的交點．

（2）解方程①，有x₁=-1，x₂=m²；
令|m²-（-1）|=3，有m²+1=3，
∴m=±；
∴當m=±時，直線與拋物線兩交點的橫坐標之差為3．
此時y=x+2，A（-1，1），B（2，4）．
由勾股定理，得
|OA|=，|OB|=．
過B作x軸的垂線，交x軸于點M，過A作BM的垂線．交BM于N．
則|AN|=3，|BN|=3；
∴|AB|=
∵|OA|²+|AB|²=|OB|²
∴由勾股定理逆定理，知△AOB為直角三角形，且∠BAO=90°，
設OB邊上的高為h，則有
|AB|•|OA|=|OB|•h．
即•=•h
∴h=．
點評：本題主要考查了函數圖象交點的求法、一元二次方程根與系數的關系、勾股定理等知識點．