Question

（2006•臨安市）如圖，△OAB是邊長為2+的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標；
（2）當A′E∥x軸，且拋物線y=-x²+bx+c經過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標；
（3）當點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標；若不能，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當A′E∥x軸時，△A′EO是直角三角形，可根據∠A′OE的度數用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長．據此可求出A′和E的坐標；
（2）將A′，E點的坐標代入拋物線中，即可求出其解析式．進而可求出拋物線與x軸的交點坐標；
（3）根據折疊的性質可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：
①∠A′EF=90°，根據折疊的性質，∠A′EF=∠AEF=90°，此時A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．
②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．
因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．
解答：解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x軸，得△OA′E是直角三角形，
設A′的坐標為（0，b），
AE=A′E=b，OE=2b，b+2b=2+，
所以b=1，A′、E的坐標分別是（0，1）與（，1）．

（2）因為A′、E在拋物線上，
所以，
所以，
函數關系式為y=-x²+x+1，
由-x²+x+1=0，
得x₁=-，x₂=2，
與x軸的兩個交點坐標分別是（，0）與（，0）．

（3）不可能使△A′EF成為直角三角形．
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成為直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用對稱性，則∠AEF=90°，
A、E、A三點共線，O與A重合，與已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成為直角三角形．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、直角三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強．