Question

如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．

求證：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．

Answer 1

分析：（1）根據AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據E是CD的中點可證出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．

（2）根據線段垂直平分線的性質判斷出AB=BF即可．

證明：（1）∵ AD∥BC（已知），

∴ ∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內錯角相等）.

∵ E是CD的中點（已知），

∴ DE=EC（中點的定義）．

∵ 在△ADE與△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴ △ADE≌△FCE（ASA），

∴ FC=AD（全等三角形的性質）．

（2）∵ △ADE≌△FCE，

∴ AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應邊相等）.

又BE⊥AE，∴ BE是線段AF的垂直平分線，

∴ AB=BF=BC+CF.

∵ AD=CF（已證），

∴ AB=BC+AD（等量代換）．