Question

【題目】我國魏晉時期的數學家劉徽創立了“割圓術”，認為圓內接正多邊形邊數無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率π的近似值，設半徑為r的圓內接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當n=6時，π≈ = =3，那么當n=12時，π≈ = ． （結果精確到0.01，參考數據：sin15°=cos75°≈0.259）

Answer 1

【答案】3.10
【解析】解：如圖，圓的內接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個等腰三角形，其頂角為30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°， 作BC⊥AO于點C，則∠ABC=15°，

∵AO=BO=r，
∴BC= r，OC= r，
∴AC=（1﹣ ）r，
∵Rt△ABC中，cosA= ，
即0.259= ，
∴AB≈0.517r，
∴L=12×0.517r=6.207r，
又∵d=2r，
∴π≈ = ≈3.10，
故答案為：3.10
圓的內接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個等腰三角形，作輔助線構造直角三角形，根據中心角的度數以及半徑的大小，求得L=6.207r，d=2r，進而得到π≈ = ≈3.10．