Question

【題目】我們把能平分四邊形面積的直線稱(chēng)為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：如圖1四邊形ABCD中，取對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”．

（1）如圖1，試說(shuō)明直線AE是“好線”的理由；
（2）如圖2，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的“好線”，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，五邊形ABCDE是一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但原塊土地與開(kāi)墾荒地的分界小路（折線CDE）還保留著，現(xiàn)在請(qǐng)你過(guò)E點(diǎn)修一條直路．要求直路左邊的土地面積與原來(lái)一樣多（只需對(duì)作圖適當(dāng)說(shuō)明無(wú)需說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

∴S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，

∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四邊形ABCD，

∴S四邊形ABCO= S四邊形ABCD．

∴折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，

設(shè)AE交OC于F．

∵OE∥AC，

∴S△AOE=S△COE，

∴S△AOF=S△CEF，

∵折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，

∴直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“好線”．

（2）解：連接EF，過(guò)A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S△AOF=S△GOE，

又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”．

（3）解：如圖3，

連接CE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥EC交CM于F，連接EF，即EF為所修的直路，

理由：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于H，

∵DF∥EC，∴DG=FH（夾在平行線間的距離處處相等），

∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，

∴S△CDE=S△CEF，

∴S四邊形ABCDE=S四邊形ABCE+S△CDE=S四邊形ABCE+S△CEF=S五邊形ABCFE．

即：直路左邊的土地面積與原來(lái)一樣多．

【解析】（1）首先作AH⊥BC，垂足為H．依據(jù)三角形的面積公式可得到S△ABD=BDAH，S△ADC=DCAH，然后結(jié)合條件BD=CD，可得到S△ABD=S△ADC，再判斷出S四邊形ABCO=S四邊形ABCD，進(jìn)而判斷出S△AOE=S△COE，推出S△AOF=S△CEF，即可推出直線AE平分四邊形ABCD的面積；
（2）首先連接EF，F(xiàn)G，然后過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG．設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S△AOF=S△GOE，又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”，
（3）首先連接CE，EF，然后過(guò)點(diǎn)D作DF∥EC交CM于F，然后依據(jù)夾在平行線間的距離處處相等得出DG=FH，于是可得到S△CDE=S△CEF.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線之間的距離的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條平行線的距離才能正確解答此題．