Question

（2012•和平區二模）如圖，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD為直徑的半圓O交AC于點E，點G是AD的中點．
（Ⅰ）GE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明理由；
（Ⅱ）若EC=4，DC=6，求直角邊AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，DE，根據DC是直徑得出∠CED=90°，推出∠AED=90°，根據直角三角形斜邊上中線性質得出EG=

1

2

AD=DG，推出∠GED=∠GDE，再推出∠OED=∠ODE，求出∠OEG=∠ODG=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）證△CED∽△CDA，推出

CE

CD

=

CD

CA

，代入求出CA=9，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AD即可．

解答：解：（1）GE與半圓O相切，理由是：
連接OE，DE，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∵G為AD中點，
∴EG=

1

2

AD=DG，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，
即∠OEG=∠ODG=90°，
∴GE⊥OE，
∵OE是⊙O半徑，
∴GE是⊙O切線；

（2）∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴

CE

CD

=

CD

CA

，
∴CA=

CD2

CE

=

62

4

=9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=

CA2-DC2

=

92-62

=3

5

．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質，等腰三角形的性質，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．