Question

為了美化校園環境，某中學準備在一塊空地（如圖，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m）上進行綠化．中間的一塊（圖中四邊形EFGH）上種花，其他的四塊（圖中的四個Rt△）上鋪設草坪，并要求AE=AH=CF=CG．那么在滿足上述條件的所有設計中，是否存在一種設計，使得四邊形EFGH（中間種花的一塊）面積最大？若存在，請求出該設計中AE的長和四邊形EFGH的面積；若不存在，請說明理由！

Answer 1

存在．設AE=AH=CG=CF=xm
則BE=DG=（10-x）m，BF=DH=（20-x）m
∴四邊形EFGH的面積
S=10×20-2×

1

2

x•x-2×

1

2

（10-x）（20-x）
即S=-2x²+30x（0＜x＜10）
∴x=-

30

2×(-2)

=7.5
又∵0＜7.5＜10
∴S_最大值=

-302

-4×2

=112.5
答：當AE的長為7.5m時，種花的這一塊面積最大，最大面積是112.5m²．