Question

（1）如圖1，在銳角△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與CE相交于點P，若已知∠A=50°，∠BPC的度數為多少；
（2）如圖2，在鈍角△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與EC的延長線相交于點P，若已知∠A=50°，則∠BPC的度數為多少；
（3）在△ABC中，若∠A=α，請你探索AB、AC邊上的高線（或延長線）相交所成的∠BPC的度數．（可以用含α的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解；
（2）根據直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根據∠ACE和∠PCD是對頂角解答即可；
（3）分∠A是銳角時△ABC是銳角三角形，鈍角三角形討論求解，∠A是直角鈍角時討論求解．

解答：解：（1）∵∠A=50°，BD是AC邊上的高，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CE是AB邊上的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°+90°=130°；

（2）∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，
∵∠ACE=∠PCD（對頂角相等），
∴∠BPC=∠A=50°；

（3）當∠A=α是銳角時，
①△ABC是銳角三角形時，根據（1）∠BPC=90°+（90°-∠A）=180°-α；
②△ABC是鈍角三角形時，根據（2）∠BPC=∠A=α；
當∠A是直角時，∠BPC=90°，
當∠A是鈍角時，∠BPC=180°-α．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的高線，（3）要注意分情況討論求解．