Question

（2008•紹興）學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．求證：∠BQM=60度．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
請你作出判斷：①

是

；②

是

；③

否

．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據BM=NC，∠ABM=∠BCN，AB=BC，（ASA）判定△ABM≌△BCN，所以∠BAM=∠CBN，則∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度；
（2）②同樣還是根據條件判定△ACM≌△BAN，得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，即∠BQM=60°；③同上，證明Rt△ABM≌Rt△BCN，得到∠AMB=∠BNC所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，即∠BQM≠60°

解答：證明：（1）∵BM=NC，∠ABM=∠BCN，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．

（2）①是；②是；③否．
②的證明：如圖，
∵∠ACM=∠BAN=120°，CM=AN，AC=AB，
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的證明：如圖，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

點評：主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定及性質的運用．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．