Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F（16，0），與y軸正半軸交于點E（0，16），邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q（運動時，點P不與A，B兩點重合，點Q不與C，D兩點重合）．設點A的坐標為（m，n）（m＞0）．
①當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標；
②在①的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；
③當n=7時，是否存在m的值使點P為AB邊的中點？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將F點的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，由此確定該拋物線的解析式；
（2）①若PO=PF，那么P點位于OF的垂直平分線上，此時P點的橫坐標是F點橫坐標的一半；將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標；易知正方形的邊長為16，根據P點的坐標即可確定Q點的縱坐標，進而可由拋物線的解析式確定Q點的坐標；
②在①中，求得P（8，12），Q（8

5

，-4）；當P、A重合時，m=8；當Q、C重合時，m=8

5

-16；由于P、A，Q、C都不重合，所以m的取值范圍應該是8

5

-16＜m＜8；
③當n=7時，P點的縱坐標為7，Q點的縱坐標為-9，根據拋物線的解析式可確定P、Q的坐標；假設P是AB的中點，根據這個條件可確定A、B、C、D四點的坐標，然后判斷P、Q是否與這四點重合，若重合則與已知矛盾，那么就不存在符合條件的m值，若不重合，所得A點的橫坐標即為所求的m值．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+c經過點E（0，16），F（16，0）得：

0=162a+c 16=c

解得

a=- 1 16 c=16

，（3分）
∴y=-

1

16

x2+16．（4分）

（2）①過點P做PG⊥x軸于點G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=

1

2

×OF=

1

2

×16=8，
即P點的橫坐標為8，
∵P點在拋物線上，
∵m＞0，
∴y=-

1

16

×82+16=12，
即P點的縱坐標為12，
∴P（8，12），（6分）
∵P點的縱坐標為12，正方形ABCD邊長是16，
∴Q點的縱坐標為-4，
∵Q點在拋物線上，
∴-4=-

1

16

x2+16，
∴x1=8

5

，x2=-8

5

，
∵m＞0，
∴x₂=-8

5

（舍）
∴x=8

5

，
∴Q(8

5

，-4)．（8分）

②8

5

-16＜m＜8．（10分）

③不存在．（11分）
理由：當n=7時，則P點的縱坐標為7，
∵P點在拋物線上，
∴7=-

1

16

x2+16，
∴x₁=12，x₂=-12，
∵m＞0
∴x₂=-12（舍去）
∴x=12
∴P點坐標為（12，7）
∵P為AB中點，
∴AP=

1

2

AB=8，
∴點A的坐標是（4，7），
∴m=4，（12分）
又∵正方形ABCD邊長是16，
∴點B的坐標是（20，7），點C的坐標是（20，-9），
∴點Q的縱坐標為-9，
∵Q點在拋物線上，
∴-9=-

1

16

x2+16，
∴x₁=20，x₂=-20，
∵m＞0，
∴x₂=-20（舍去）
∴x=20，
∴Q點坐標（20，-9），
∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾，
∴當n=7時，不存在這樣的m值使P為AB的邊的中點． （14分）

點評：此題是二次函數的綜合題，考查的知識點有二次函數解析式的確定、正方形的性質、等腰三角形的性質等，綜合性較強，難度較大．