Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過 上一點T作⊙O的切線TC，且TC⊥AD于點C．
（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度數；
（2）若⊙O半徑為2，CT= ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OT，如圖1：

∵TC⊥AD，⊙O的切線TC，

∴∠ACT=∠OTC=90°，

∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO，

∴∠CAT=∠ATO，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠ATO，

∴∠DAB=2∠CAT=50°，

∴∠CAT=25°，

∴∠ATC=90°﹣25°=65°

（2）解：過O作OE⊥AC于E，連接OT、OD，如圖2：

∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，

∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°，

∴四邊形OECT是矩形，

∴OT=CE=OD=2，

∵OE⊥AC，OE過圓心O，

∴AE=DE= AD，

∵CT=OE= ，

在Rt△OED中，由勾股定理得：ED= ，

∴AD=2

【解析】（1）連接OT，根據同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，進而得出∠DAB=2CAT，解答即可；（2）過O作OE⊥AC于E，連接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根據垂徑定理求出DE，根據矩形性質求出OT=CT，根據勾股定理求出即可．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．