Question

【題目】（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明.

（簡單應用）

（2）如圖2，分別平分，若，，求的度數（可直接使用問題（1）中的結論）.

（問題探究）

（3）如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，猜想的度數為 .

（拓展延伸）

（4）在圖4中，若設，，，試問與、之間的數量關系為： （用表示）

（5）在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關系，直接寫出結論 .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）（4）；（5）

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可證明；
（2）如圖2，根據角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結論；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；
（4）（5）同法列出方程組即可解決問題．

（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的結論得：，

①+②，得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如圖3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案為：26°；
【拓展延伸】
（4）同法可得：；
故答案為：，
（5）同法可得：．
故答案為：．