Question

19．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分線AF交DE于點G，交BC于點F．
（1）請你直接寫出圖中所有的相似三角形；
（2）求AG與GF的比．

Answer 1

分析 （1）可得到三組三角形相似；
（2）先利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似證明△ADE∽△ACB，則∠ADG=∠C，再利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似證明△ADG∽△ACF，然后利用相似比和比例的性質求$\frac{AG}{GF}$的值．

解答 解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG=∠C，
∵AF為角平分線，
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AG}{GF}$=2．

點評 本題考查了相似三角形的判斷：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．