Question

已知：AB是⊙O的弦，D是

AB

的中點，過B作AB的垂線交AD的延長線于C．
（1）求證：AD=DC；
（2）過D作⊙O的切線交BC于E，若DE=EC，求∠C．

Answer 1

分析：（1）根據D是弧AB的中點，可以證得AD=BD，然后根據等角對等邊，即可證得BD=CD，從而求證；
（2）證明△DCE是等腰直角三角形，即可求解．

解答：（1）證明：連接BD，
∵D是

AB

的中點．
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠C=∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠C，
∴BD=CD，
∴AD=DC；

（2）解：∵DE是○O的切線，
∴OD⊥DE，
∵D是

AB

的中點．
∴OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∴DE⊥BC，
又∵DE=EC，
∴∠C=45°．

點評：本題主要考查了切線的性質，以及弧與弦之間的關系，正確證明△DCE是解題的關鍵．